EJEMPLOS DEL COMENTARIO DE CARMEN NÚMEROS CAPICÚAS

•abril 27, 2007 • 1 comentario

Bueno como ya dije en su blog hay un número que he hecho que no sale que de capicúa.

Empezamos el ejercicio a partir de número capicúas:

Ejemplos: 

22 + 22= 44; capicúa

1331 + 1331 = 2662 ; Capicúa.

2332 + 2332 = 4664; capicúa.

 43234 + 43234 = 86468 ; capicúa.

Quizás pensemos que al hacer estos todos los que sumemos capicúas nos darán siempre a la primera otro número capicúa también pero no es así:

Ejemplos:

52125 + 52125 = 104250, 104250 + 052401 = 156651 ; capicúa.

86368 + 86368 = 172736, 172736 + 637271 = 810007, 810007 + 700018 = 1510025, 1510025 + 5200151 = 6710176 ;capicúa.

 

Ahora haré el número que no sale y es con características muy parecidas al anterior que hemos hecho:

Ejemplo:

362263 + 362236 = 724526, 724526 + 625427 = 1349953

1349953 + 3599431 = 494384, 4949384 + 4839494 = 9788878

9788878 + 8788879 = 18577757, 18577757 + 75777581 = 94355338

94355338 + 83355349 = 177710687, 177710687 + 786017771 = 963728458

963728458 + 854827369 = 1818555827, 1818555827 + 7285558181 = 9104114008

9104114008 + 8004114019 = 17108228027, 17108228027 + 72082280171 = 89190508198

89190508198 + 89180509198 = 178271017396, 178271017396 + 693710172871 = 871981190267

871981190267 + 762091189178 = 1634072379445, 1634072379445 + 544973270361 = 7083805083806

7083805083806 + 6083805083807 = 13167610167613, 13167610167613 + 31676101676131 =44843711843744, aquí podemos decir que algunos número son iguales pero no todos siemrpe hay alguno que no coincide y sigue sin ser capicúa.

Se puede seguir intentando pero no da y ya son número muy altos.

 

 

Bueno esto es todo lo que he podido pensar, y no se me ocurre porque número muy parecidos si dan capicúa pero este en concreto no.

 

Espero que alguien pueda resolver la duda.

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Teoría de los Juegos

•abril 11, 2007 • 1 comentario

El primer teorema de teoría de juegos apareció hace al menos cien años, y se lo debemos a Zermelo. Este demostró que en todo juego sin azar, con un número finito de posiciones, uno de los jugadores tiene una estrategia no perdedora.

El teorema, de aspecto más que inocente, engloba juegos como el ta-te-tí (o tres en raya), las damas, el ajedrez, y el go. Es sólo una cuestión de complejidad -el número inmenso de posiciones posibles- lo que los diferencia. El propio Zermelo era consciente de esta complejidad, y el mismo título  nos indica que tenía en mente el ajedrez: “Uber eine Anwendung der Mengenlehre auf die Theorie des Schachspiels

Consideremos brevemente el ta-te-tí. Este es un juego simple de analizar, tiene “pocas” movidas en comparación al ajedrez. En un tablero de tres por tres, ambos jugadores van colocando fichas en alguna de las nueve casillas -el primero de un color, el segundo de otro- y el objetivo es colocar tres en una misma línea. No es difícil descubrir la estrategia que debe seguir el primer jugador para evitar perder, claro que eso no significa que el primer jugador gane: si el segundo juega correctamente, aunque no pueda obtener una victoria sí puede forzar el empate. Tampoco es difícil programar una computadora para que juegue bien al ta-te-tí, después de todo, una estrategia es una receta (o un programa) que nos dice qué hacer ante cada situación que se nos presenta.

Avanzando sobre los juegos mencionados, las damas son relativamente simples. Y el ajedrez, a juzgar por los resultados actuales de los matchs humanos-vs-computadoras, se podría creer que también lo es. Pero el ajedrez no está resuelto en los mismos términos que sí lo está el ta-te-tí: hoy las máquinas ganan a cualquiera sólo porque ven más lejos, tienen un horizonte de movidas analizadas por delante superior al que se plantean analizar los humanos. Eliminando -para el humano- la restricción temporal (esto es, dándole más tiempo para analizar las movidas, en lugar de las habituales dos horas para cuarenta movidas), la fuerza de la máquina se ve disminuida. Esto se observa en el ajedrez postal, tanto en el clásico por correo como en su versión moderna por e-mail. El go computacional, por ahora, está en una fase menos desarrollada, pero creo que es sólo cuestión de tiempo hasta que un programa comience a vencer a los seres humanos.

Otra clase de juegos incluídos en el teorema de Zermelo es aquella de juegos de retirar piedritas o varillas de un determinado grupo siguiendo ciertas reglas hasta que no haya movidas posibles. El Nim es un ejemplo clásico, pero quiero mencionar aquí otro cuyo nombre desconozco, sobre todo porque es un caso típico del monstruo matemático creado a principios del siglo XX por Zermelo y sus amigos. El juego consiste en quitar grupos de piedritas de una tabla rectangular como la siguiente:

x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x

La regla es que -una vez elegida una piedra- se quitan todas las que estén por encima y a su derecha. Por ejemplo, si se selecciona la piedra marcada con una o,

x x x x x x x x x x
x x x x x o x x x x
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x

habrá que quitar todas las piedras marcadas ahora con una o:

x x x x x o o o o o
x x x x x o o o o o
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x

Y el que haga la última movida, pierde (sería muy simple la estrategia ganadora del blanco si quien hace la última movida gana: toma la que está en el extremo inferior izquierdo y retira todas!)

Este juego, incluído en el Teorema de Zermelo, debe tener forzosamente una estrategia ganadora para uno de los jugadores, aunque tal vez dependa del tamaño del rectángulo de mxn piedras. La pregunta que les dejo para la próxima columna es ¿cual?

¡Pero cuidado! La pregunta es ¿para cual jugador hay una estrategia?, no es ¿cual es la estrategia? (bueno, si quieren probar encontrarla, adelante, ¡que yo no la conozca no quiere decir que no exista o que no sea posible descubrirla!)

Y como esta es una columna dedicada a las matemáticas pero también a la literatura, una segunda pregunta que espero responder en otra ocasión es la siguiente:

¿Y qué tiene que ver todo esto con la literatura?

La respuesta, créanme, es verdaderamente surrealista.

 

Pitágoras y la música

•abril 11, 2007 • Dejar un comentario

Las ciencias pitagóricas no son sino los dos primeros pasos del filosofar, que consiste en aprender a ver y saber escuchar, es decir, las dos actividades humanas por excelencia (Platón, Libro VII de la República). 

Las matemáticas y la música se unen en el concepto pitagórico de harmonia que significa, en primer lugar, proporción de las partes de un todo. No olvidemos que Pitágoras fue el primero en llamar cosmos al conjunto de todas las cosas, debido al orden que existe en éste (según Aecio). Este orden por el que se rige el Cosmos es dinámico: El universo está en movimiento y es el movimiento de los astros y de las fuerzas que los mueven el que se ajusta en un todo harmónico. Así, si el Cosmos es armonía, también el alma es armonía, para los pitagóricos. Las matemáticas y la música, lo que se aprende por los ojos, y lo que se aprende por los oídos, constituyen los dos caminos para curación del alma.En el sentido pitagórico se establecía pues un paralelismo entre los intervalos acústicos considerados como base de la música y las distancias que nos separan de los planetas. Así, de la Tierra a la Luna habría un tono; de la Luna a Mercurio un semitono; otro de Mercurio a Venus; y de Venus al Sol un tono y medio; por tanto entre el Sol y la Tierra existiría una separación correspondiente al intervalo de quinta, y habría una distancia correlativa del intervalo de cuarta desde la Luna al Sol.Pero harmonia quiere decir también afinación de un instrumento musical con cuerdas de diferente tirantez, llegando a significar  la escala musical (s. V). Aristóteles nos dice que los pitagóricos afirmaban que “la tonalidad del universo era armonía y número”. El número, alude al aspecto visual, geométrico y astronómico de los cuerpos del Cosmos, que es comparado con un inmenso teatro. La harmonia alude al sonido de los instrumentos afinados que hacen del Cosmos una orquesta sinfónica.Esa doctrina nos enseña a aprender mirando al cielo y escuchando la música callada de las esferas celestes. Porque el cielo es número y armonía, y también es música, que sólo quien sabe guardar silencio como Pitágoras es capaz de escuchar. Porfirio, filósofo de los siglos III-IV d.C., afirmaba que Pitágoras “oía incluso la armonía del todo: aquella que contenía la armonía universal de las esferas y de los astros que se mueven dentro de dichas esferas, armonía que las deficiencias de nuestra naturaleza nos impiden percibir”.Según el testimonio de Aristóteles, “después de justificar el hecho de que tal clase de sonido nosotros no lo oigamos, arguyen que la causa de ello se halla en algo que se da siempre, desde el instante mismo de nuestro nacimiento: la carencia de todo contraste con el silencio, lo que nos impide distinguir éste, a pesar de que sonido y silencio se puedan discernir el uno del otro, justamente por ser contrario”.Esta manera de explicar numéricamente la esencia de lo creado, es sin duda el origen oriental, que se deduce de los viajes que Pitágoras realizó por Asia.El efecto psíquico de la música parece ser aquí un elemento generador, en tanto que en las posteriores doctrinas musicales físico-matemáticas se atiende principalmente al hecho fisiológico de la impresión sensual para relacionarlo con las leyes generales de la acústica.Sin duda fue Pitágoras el iniciador de esta aplicación curativa y medicinal de la música. Ya se ha dicho antes que el alma es armonía, debido a esto, la música ejerce sobre el espíritu un especial poder: La música puede restablecer la armonía espiritual, incluso después de haber sido turbada. De tal idea se deduce uno de los conceptos más importantes de la estética musical de la antigüedad: el concepto de catarsis. El vínculo de la música con la medicina es muy antiguo, y la creencia en el poder mágico-encantador, y con frecuencia, curativo, de la música, se remonta a tiempos anteriores a Pitágoras. La música era admirada y llamada purificación, por eso los pitagóricos purificaban el cuerpo con la medicina y el alma con la música. También esta concepción pitagórica de la filosofía como curación del alma, que tiene como ciencias auxiliares a las matemáticas y a la música, dio lugar a una meloterapia o psicoterapia. Pero los pitagóricos, no sólo establecieron una especie de medicina musical del alma, sino que empleaban también para ciertas enfermedades los encantos creyendo que la música contribuía grandemente a la salud si se empleaba del modo más conveniente. Por tanto se establecía un lazo indisoluble entre salud y música, puesto que la proporción y equilibro de las notas produce harmonia y orden, tanto en el cuerpo como en el alma.La música es un saber sublime y fundamental para la salud y la purificación ética del ser humano. 

La música también son matemáticas

•abril 11, 2007 • Dejar un comentario

Una de las cosas más necesarias para que la música “funcione” es que tenga unidad. Es claro que una cantidad de sonidos que se relacionen entre sí sin nada que los relacione (digamos las esquilas de un hato de ovejas, superpuestas al murmullo de un rio, mientras pasa un helicóptero y al lado otro excursionista tiene la radio demasiado alta), va a ser difícil de percibir como experiencia musical unitaria, aunque puede admitirse que haya quien disfrute de tal experiencia sonora.

Necesitamos más bien algo que nos haga pensar que la obra se relaciona consigo misma, que cada momento que oímos, se relaciona con los que hemos oído o los que nos quedan por oír —las formas en que se puede conseguir esto son incontables, y no excluyen el contraste—.

Dentro de las formas más primitivas —que está lejo de significar toscas— de conseguir esto, tenemos la repetición de una línea melódica no demasiado larga. Esta repetición aportará unidad a la obra, logrando que nuestro oído alcance satisfacción. Esta práctica es el origen, por ejemplo, de todas las formas musicales basadas en el ostinato.

Lo malo de este procedimiento es que puede, fácilmente, producir demasiada unidad, y acabar resultando aburrido. Dentro de unos párrafos comenzaremos a encontrar alternativas a esta monotonía.

Otra de las posibilidades para crear unidad es limitar el rango de frecuencias con que trabajamos: en lugar de emplear todo el espectro de frecuencias comprendido entre los 40 y los 20.000 Htz que abarca el oído humano, limitamos estas frecuencias a unas pocas (según mis conocimientos, ésto ha sido universal en todas las culturas hasta la aparición de instrumentos electrónicos). Así, elegimos unas pocas frecuencias con las que trabajar, y formamos escalas.

El intervalo de octava, por motivos en parte físicos (es singularmente presente en la naturaleza) y en parte biológicos (el registro de mujeres y hombres cuando cantan juntos difiere normalmente en esa cantidad), acaba dominando la elección de esas frecuencias, de forma que lo usual en todas las culturas es que dentro de una octava se elijan ciertas frecuencias y se repitan en todas las demás. Los pocos casos en que eso no ha sido exacto —hablo de músicas populares—, es cuando se ha dispuesto de instrumentos —las steel drums tropicales, por ejemplo—, cuyo rendimiento difiere en cada octava.

Con esto llegamos a que las escalas se han tratado de una forma que, a partir de ahora, denominaremos modular. Si observamos un reloj, no nos parece ilógico que después de las doce venga la una. O a quien juegue bien a las cartas —no es mi caso—, tampoco le parecerá extraño que en la baraja francesa después de la reina y el rey vengan el as y el dos. Son casos, por así decirlo, en que imponemos un orden pero no un principio y un fin.

Observemos una escala diatónica normal.

7sin.jpg

Podemos observar que he optado por representarla en círculo. A todos nos han hecho en el colegio aprender “do, re mi, fa, sol, la, si, DO”, y si no, las andanzas de la familia Trapp se han encargado de lo mismo. Por tanto es sensato adoptar una disposición circular que represente esta modularidad.

Aquí podemos observar lo mismo con una escala cromática.

12sin.jpg

Volvamos ahora a cómo usar repeticiones y aportar además de unidad, variedad. Para nuestro ejemplo, digamos que el fragmento melódico que deseamos repetir es DO- RE- MI- SOL, que represento a continuación como una figura geométrica dentro de la escala diatónica.

7a.jpg

Una primera posibilidad consistiría en lo que llamamos transportar, que consistiría en repetir las mismas distancias desde una nota diferente, si comenzamos desde RE, que es la siguiente a DO, tenemos que:

  • La siguiente a RE, es MI
  • La siguiente a MI, es FA
  • La siguiente a SOL, es LA

De forma que nuestro D0-RE-MI-SOL, se transforma en RE- MI- FA- LA. El oído se sorprende ante lo nuevo, reconoce el parentesco y queda satisfecho, lo que es una suerte porque es un procedimiento de construcción melódica que ha marcado la inmensa mayoría de la música, de, por ejemplo, Bach —un caso diáfano es la invención número 1— o Mozart.

Es una operación equivalente a un giro, si seguimos con nuestra analogía visual..

7b.jpg

Otra forma en que podríamos haber hecho esto es numerando las notas:

  • Do=0
  • Re=1
  • Mi=2
  • Fa=3
  • Sol=4
  • La=5
  • Si=6

Con lo que nuestro DO- RE- MI- SOL, se convierte en [0, 1, 2, 4].

Puesto que la diferencia entre 0 y 1 (do y re, a donde queremos transportar el fragmento) es uno, no tenemos más que añadir 1 a cada miembro de esta hilera de números para conseguir [1, 2, 3, 5], que al retraducir, nos da RE- MI- SOL- LA. Los músicos quizá podamos pensar que es más difícil hacerlo así, pero es un procedimiento que conviene conocer, por varias razones:

  1. Va, en un futuro, si así lo deseamos, a posibilitarnos transportar, o su análogo, elementos diferentes a la altura.
  2. A las máquinas se les da mucho mejor sumar que el solfeo. Planteándole las cosas de esta forma a un ordenador, podemos lograr que transporte sin problemas la integral de las sinfonías de Mozart en cosa de segundos, o menos, cosa que es práctica hasta el exceso, como cualquiera que toque instrumentos transpositores o haya escrito para ellos sabe perfectamente. —Nota: estoy ignorando deliberadamente la asignación de octava de las alturas para simplificar—

Es obvio que para un transporte ascendente debemos sumar, y para uno desdendente, restar.

Hay sin embargo, un problema con este procedimiento. Supongamos que quiero fransportar el fragmento a FA. La diferencia entre DO y FA es 3, con lo que [0, 1, 2, 4], se convertiría en [3, 4, 5, 7]. Y resulta que 7 no lo tenemos definido en la tabla anterior.

La solución es restar 7 (el número de notas de esta escala) de todo número mayor o igual que 7, tantas veces como sea necesario hasta obtener un número entre 0 y 6. De la misma forma, si en algún momento obtuviésemos resultados negativos, habría que sumar 7, hasta conseguir lo mismo.

Termino este artículo apuntando que con otras escalas de un número diferente de notas, los resultados serían distintos en el transporte. En la escala cromática, DO- RE- MI- SOL se convertiría en RE- MI- FA#- LA. En los grafismos,

12a.jpg

se convertiría en

12b.jpg

Y, obviamente, en el procedimiento numérico, hay que numerar de 0 a 11, y restar o sumar doces en consecuencia.

En un próximo artículo veremos como con procedimientos gráficos y numéricos como estos, podemos modelar el resto de las transformaciones temáticas del contrapunto.

BIENVENIDOS al blog de las matemáticas, espero que os guste!!!!!

•marzo 6, 2007 • Dejar un comentario

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